在力學、描述電動力學、張量張量相對論中，變的物的梯度物理規律乃至許多物理量，化張都不會隨坐標係的朝陽選擇或者變化而改變。比如光速，理課不會因為洛倫茲變換而發生改變；在一個三維空間中，解密無論如果旋轉，描述一個矢量的張量張量長度也是保持不變。為了抓住不變性，變的物的梯度常常需要用矢量微積分這一工具來描述這些量或者規律。化張在更一般的朝陽情形下，研究廣義相對論所關心的理課、四維彎曲時空中的解密物理規律需要用到更廣義的矢量微積分，也即微分幾何。描述為什麽叫“微分”幾何呢？張朝陽解釋，在微分幾何中，人們用微分的視角研究流形上的幾何性質，其衍生出的數學工具能夠描述物理量隨時空坐標變化的性質，無論這個時空本身是平直的還是彎曲的。物理量隨時空坐標的變化，對應著對物理量對時空坐標的求導，或者說是求微分。在微分幾何中，張量是重要的對象。在坐標係變換時，張量的分量或許會發生改變，但是張量本身不會發生改變。在一般的教科書中，常常通過定義張量在坐標係變換下相應分量的變換規則，來說明這個張量的不變性。張朝陽在研習過程中發現，相比抽象的數學定義，根據在歐幾裏得空間中計算矢量微積分的經驗，利用對偶基矢來理解微分幾何不僅更為直觀，表達計算上也更為簡潔。本節物理課中，他將帶領網友們複習這一方法，然後解答對零階張量與一階張量求微分的問題。這類問題在流體力學等地方也經常遇到，在前麵多節物理課中已經對這一主題有了初步的接觸。張朝陽首先介紹了張量的記號和定義，類比於矢量微積分，張量可以表示為展開全文這些分別為零、一、二、三階張量，這個表示並不直接直接與坐標係相關，這也代表這些量不隨坐標係變化。選取坐標係之後，相應將得到上下基矢，記為它們滿足點積關係一階張量可以用下基矢表達為稱指標在上麵的F^α為逆變分量。同一個一階張量也可以用上基矢表達為稱指標在下麵的F_α為協變分量。類似地，利用上下基矢的不同組合，可以將二階張量寫成不同的形式張朝陽提醒，寫下上式的技巧是，一定要確保整個公式滿足愛因斯坦求和規則。由此可以得到二階張量的不同分量，它們的指標寫法不一。在上式中所寫的幾種情形下，從上至下分別稱為二階張量T的型分量、型分量、型張量。對更高階的張量也可以做類似的討論分析。介紹完張量的記號和定義後，91下载成人抖音需要關注一種特殊的一階張量——坐標微分張量，定義為：在力學中它描述了粒子的微小運動，也可以稱之為切矢量。利用點乘，可以求坐標微分張量的線長：更一般地，可以表示為：這一步定義了度規，它是兩個下基矢的點乘度規的逆也可以類似地用上基矢的點乘來定義，具體為度規和它的逆有升降指標的能力。首先來考察如何利用度規實現基矢的升降。注意到基矢本身也是矢量，當度規作用於基矢時有類比式，最後邊的等號可以視為是e^β在一組下基矢上的展開，所以應有即度規將下基矢升為了上基矢。接下來考察度規對分量的升降作用。對於一個逆變分量，有已經知道度規可以升降基矢，所以應有即度規將一個逆變分量降為了協變分量。度規是上基矢和下基矢之間的一一對應，因而又可以認為，上基矢和下基矢，描述的都是同一個矢量空間，隻是選取了兩組不同的、對偶的基矢量來研究這個空間。零階張量的梯度在對偶基矢的框架下，可以研究各種張量的梯度的定義。梯度是張量的變化量。在三維平直空間的直角坐標係下，最簡單的是零階張量的總變化量，根據多元函數的泰勒展開，它可以寫成在各方向上獨立變化量之和同時，在同樣的坐標係下，坐標的微小變化可以被表達為矢量其中i、j、k是直角坐標中三個方向基矢。這樣一來，可以將上麵的變化量重寫為兩個矢量點乘的形式：其中定義了矢量這裏定義的矢量F是非常有用的。比如求一個標量場在某些坐標位移方向下引起的變化量微元時，坐標位移的方向可以是多種多樣的，但是求對應變化量微元卻並不需要分別獨立求取。從上麵的推導可以看出，隻需要知道矢量F，並將其與具體的坐標位移點積，就可以得到相應的變化量。張朝陽介紹道，這樣定義的矢量正是梯度，它不依賴於具體的變化方向，但會比原來的量要高一階，比如這裏零階張量的梯度就是一個一階張量。上麵僅關注了一個特殊情形，對於一般的坐標係，是否也可以這麽做呢？一個一般的零階張量場是各坐標的函數，利用泰勒展開，可以將該一階張量的變化量寫為按照直覺可以寫出以下等式：於是這個矢量F可以取為其中給出了這個梯度矢量的協變分量和逆變分量，也即在下基矢和上基矢的展開係數。同時可以看到，標量梯度的逆變分量可以從協變分量通過度規升指標得到總結，本小節討論了零階張量的梯度的定義。一個標量的變化量微元可以寫為一個不依賴於坐標微元的矢量與坐標微元的點乘，這個矢量正是梯度，從標量到矢量，張量的階數升高了一階。一階張量的梯度對於一個一階張量場，同樣可以研究其在一個坐標微元下引起的變化微元。類比零階張量，是否可以定義一階張量的梯度，從而簡化求一階張量變化量的問題？一個一階張量的變化量能不能寫為一個二階張量和坐標微元的點積呢？在本節直播課中，張朝陽也向網友們回答了這兩個問題。按照上一節的思路，希望引入一個二階張量T，將一階張量F的變化量DF表達為在最後一步中，將T用分量展開，目的是方便接下來進行縮並。繼續計算，可以得到括號內就是變化量的逆變分量而同時，在此前直播課中，張朝陽已經講解過，一階張量的變化量應當用協變導數來計算。這是因為與標量不一樣，張量各分量的定義依賴於基矢量，它們的變化中包括由於基矢變換引起的部分，需要仔細處理。利用協變導數，應有其中Γ是與度規相適配的聯絡。對比這一結果與式，可以發現也即：一個一階張量的逆變分量的協變導數是這個一階張量的梯度的分量。總而言之，一個一階張量的梯度是一個二階張量利用度規對分量和基矢進行升降，這一結果又可以改寫為也即有：於是就清楚地知道了協變導數與矢量梯度的關係，事實上它們是一回事。據了解，《張朝陽的物理課》於每周周日中午12時在搜狐視頻直播，網友可以在搜狐視頻APP“關注流”中搜索“張朝陽”，觀看直播及往期完整視頻回放；關注“張朝陽的物理課”賬號，查看課程中的“知識點”短視頻；此外，還可以在搜狐91抖音成人APPAPP的“搜狐科技”賬號上，閱覽每期物理課程的詳細文章。